Подписаться«Макс»

Основные свойства умножения помогают упрощать вычисления и быстрее решать примеры. С их помощью можно менять порядок множителей, группировать числа и преобразовывать выражения, не меняя результата. РБК Life рассказывает, какие свойства умножения существуют и как применять их на практике.

Что такое свойства умножения

Свойства умножения — это правила, с помощью которых преобразуют произведения, не меняя их значения. Они позволяют переставлять и группировать множители, раскрывать скобки или, наоборот, выносить общий множитель за скобки [1].

В школьной математике к основным свойствам умножения относят переместительное, сочетательное и распределительное. Также выделяют правила умножения на единицу и ноль. Эти темы входят в федеральную программу по математике для 5–9 классов [2].

Если обозначить числа буквами a, b и c, основные правила записываются так:

• a * b = b * a — переместительное свойство;
• (a * b) * c = a * (b * c) — сочетательное свойство;
• (a + b) * c = a * c + b * c — распределительное свойство;
• a * 1 = 1 * a = a — умножение на единицу;
• a * 0 = 0 * a = 0 — умножение на ноль.

Числа, которые перемножают, называют множителями, а результат — произведением. Например, в равенстве 6 · 7 = 42 числа 6 и 7 — множители, а 42 — произведение.

Переместительное свойство умножения

Суть переместительного свойства проста: если поменять множители местами, произведение останется тем же [2].

Формула переместительного свойства:

a * b = b * a

Например:

8 · 125 = 125 · 8 = 1000

Такое преобразование полезно, когда после перестановки появляются удобные пары. В произведении из нескольких множителей их тоже можно менять местами.

Например:

25 · 17 · 4 = 25 · 4 · 17 = 100 · 17 = 1700

Здесь 17 и 4 поменяли местами, чтобы сначала умножить 25 на 4 и получить круглое число — 100.

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство отвечает за группировку множителей. Если перемножают три числа или больше, можно менять расстановку скобок и выбирать, какую из соседних пар удобнее посчитать первой [2].

Формула сочетательного свойства:

(a * b) * c = a * (b * c)

Например:

125 · (8 · 6) = (125 · 8) · 6

После перегруппировки вычисление становится короче:

(125 · 8) · 6 = 1000 · 6 = 6000

Переместительное и сочетательное свойства часто можно использовать вместе. Множители сначала переставляют, а затем объединяют в удобные группы.

Например:

5 · 37 · 2 = (5 · 2) · 37 = 10 · 37 = 370

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием. Оно позволяет отдельно умножить каждое слагаемое или каждый член разности, а затем сложить или вычесть результаты [1].

Формула распределительного свойства относительно сложения:

(a + b) * c = a * c + b * c

Например:

47 · 6 = (40 + 7) · 6

40 · 6 + 7 · 6 = 240 + 42 = 282

Так число 47 представили в виде суммы 40 + 7, после чего каждое слагаемое умножили на 6.

Формула распределительного свойства относительно вычитания:

(a − b) · c = a · c − b · c

Например:

98 · 7 = (100 − 2) · 7 = 700 − 14 = 686

Распределительное свойство можно применять и в обратную сторону — выносить общий множитель за скобки.

Например:

37 · 8 + 63 · 8 = (37 + 63) · 8 = 100 · 8 = 800

Свойство умножения на единицу

Если любое число умножить на единицу, оно не изменится [3].

Формула умножения на единицу:

a * 1 = 1 * a = a

Например:

47 · 1 = 47

1 · 936 = 936

Единица — нейтральный элемент умножения, умножение на нее не меняет число [3]. Поэтому множитель 1 можно убрать из произведения:

25 · 1 · 8 = 25 · 8 = 200

Свойство умножения на ноль

Если хотя бы один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю [3].

Формула умножения на ноль:

a * 0 = 0 * a = 0

Например:

78 · 0 = 0

0 · 125 = 0

Если в произведении из нескольких множителей встречается 0, считать остальные множители уже не требуется:

47 · 18 · 0 · 92 = 0

Ноль заранее определяет значение всего произведения: оно будет равно нулю.

Частые ошибки при применении свойств умножения

Сами правила несложные, но ошибки обычно возникают не в формулах, а при выборе нужного свойства. Чаще всего путают умножение на 0 и 1, неверно раскрывают скобки или переносят правила умножения на другие действия.

Путать умножение на 0 и на 1

Умножение на единицу оставляет число прежним, а умножение на ноль обнуляет произведение: a · 1 = a, a · 0 = 0 [3].

Распределять множитель не на все слагаемые

В выражении (a + b) · c множитель c относится к каждому слагаемому. Запись (a + b) · c = a · c + b неверна. Правильно: (a + b) · c = a · c + b · c [1].

Пытаться раскрыть произведение без суммы или разности

Распределительное свойство работает, когда внутри скобок есть сложение или вычитание. В произведении a · b · c раскрывать нечего, здесь используют переместительное и сочетательное свойства.

Переносить свойства умножения на деление

Правила умножения нельзя автоматически применять к делению. Деление не обладает переместительным свойством: 12: 3 = 4, а 3: 12 = 0,25. Поэтому менять делимое и делитель местами нельзя [4].

Как применять свойства умножения

Свойства умножения нужны не ради дополнительных преобразований, а чтобы сделать вычисление короче. Перед тем как перемножать числа подряд, полезно посмотреть на выражение целиком и найти удобный порядок действий.

Шаг 1. Найдите удобные множители

В первую очередь ищите пары, которые дают 10, 100 или 1000.

Например:

4 · 27 · 25

Множители 4 и 25 дают 100, поэтому:

4 · 27 · 25 = 4 · 25 · 27 = 100 · 27 = 2700

Шаг 2. Измените группировку

Если удобные множители уже стоят рядом, достаточно объединить их с помощью сочетательного свойства.

Например:

125 · 8 · 9 = (125 · 8) · 9 = 1000 · 9 = 9000

Шаг 3. Разложите число

Неудобный множитель можно представить в виде суммы или разности и применить распределительное свойство.

Например:

52 · 7 = (50 + 2) · 7

50 · 7 + 2 · 7 = 350 + 14 = 364

Шаг 4. Ищите общий множитель

Если в сумме или разности нескольких произведений повторяется один множитель, его можно вынести за скобки.

Например:

62 · 5 + 38 · 5 = (62 + 38) · 5 = 100 · 5 = 500

Шаг 5. Сразу замечайте 0 и 1

Множитель 1 не меняет произведение, а множитель 0 сразу превращает его в ноль.

Например:

16 · 1 · 25 = 16 · 25 = 400

16 · 25 · 0 = 0

Примеры решения задач

Разберем несколько примеров — от перестановки множителей до текстовой задачи.

Пример 1.

Вычислите:

25 · 43 · 4

Переставим 43 и 4:

25 · 4 · 43 = 100 · 43 = 4300

Ответ: 4300.

Пример 2.

Вычислите:

125 · 8 · 7

Сначала удобно перемножить 125 и 8:

(125 · 8) · 7 = 1000 · 7 = 7000

Ответ: 7000.

Пример 3.

Вычислите:

79 · 6

Представим 79 как разность 80 и 1:

(80 − 1) · 6 = 80 · 6 − 1 · 6

480 − 6 = 474

Ответ: 474.

Пример 4.

Вычислите:

46 · 9 + 54 · 9

Вынесем 9 за скобки:

(46 + 54) · 9 = 100 · 9 = 900

Ответ: 900.

Пример 5.

В магазин привезли 24 коробки карандашей. В каждой коробке по 15 карандашей. Сколько карандашей привезли всего?

Нужно вычислить:

24 · 15

Представим 24 в виде суммы 20 + 4:

(20 + 4) · 15 = 20 · 15 + 4 · 15

300 + 60 = 360

Ответ: 360 карандашей.

Главное о свойствах умножения

• У умножения три основных свойства: переместительное, сочетательное и распределительное.
• a · b = b · a — множители можно менять местами, произведение от этого не изменится.
• (a · b) · c = a · (b · c) — несколько множителей можно объединять в удобные группы.
• (a + b) · c = a · c + b · c и (a − b) · c = a · c − b · c — умножение распределяется относительно сложения и вычитания.
• Умножение на единицу не меняет число, а умножение на ноль всегда дает ноль.
• На практике свойства умножения помогают находить удобные пары множителей, раскладывать числа на сумму или разность и выносить общий множитель за скобки.
• Правила умножения нельзя автоматически переносить на деление.