Модель OpenAI решила одну из семи математических «задач тысячелетия»
. Речь идет об уравнениях Навье — СтоксаМодель OpenAI решила одну из семи математических «задач тысячелетия»
Cнимок локального несжимаемого движения. Оранжевым цветом отмечено более быстрое угловое вращение, бирюзовым — более медленное. Скорость циркуляции также зависит от радиуса. Траектории демонстрируют спиральное движение к центру и растяжение вдоль оси
Американская корпорация OpenAI заявила, что ее внутренняя модель смогла найти решение уравнений Навье — Стокса — одной из семи «загадок тысячелетия».
«Мы представляем решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса — одной из «задач тысячелетия». Это доказательство, полученное с помощью внутренней системы OpenAI, демонстрирует, что в динамике уравнений Навье — Стокса, описывающих движение жидкости, за конечное время может возникнуть сингулярность. Мы публикуем как описание самого доказательства, так и его формализацию на языке Lean», — сообщается на сайте корпорации.
Для решения уравнений использовались агенты внутренней ИИ-модели, показатели которой превосходят GPT-6 Astra — ее гендиректор компании OpenAI назвал началом «эры AGI». Агенты пришли к решению спустя 88 часов с момента запуска первого из них.
Что нужно знать о семи «задачах тысячелетия»
«Задачи тысячелетия» (Millennium Prize Problems) — это семь ключевых нерешенных математических проблем, за доказательство или опровержение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, CMI) в Кембридже (США) назначил премию в $1 млн. Список был представлен 24 мая 2000 года на заседании в Коллеж де Франс в Париже. В списке — шесть нерешенных и одна решенная задача.
- Гипотеза Пуанкаре — топологическое утверждение о том, что всякое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Это единственная из семи задач, которая уже решена: доказательство представил российский математик Григорий Перельман — в 2010 году институт официально присудил ему премию (хотя Перельман от нее отказался).
- Равенство классов P и NP — вопрос теории вычислительной сложности: если решение задачи можно быстро (за полиномиальное время) проверить, значит ли это, что его можно так же быстро найти. Проблема критически важна для криптографии и информатики.
- Гипотеза Ходжа — вопрос алгебраической геометрии о том, что рациональный когомологический класс типа (p, p) на проективном алгебраическом многообразии представим рациональной суммой алгебраических подмногообразий.
- Гипотеза Римана — утверждение, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть, равную 1/2. Это одна из самых знаменитых и старых открытых проблем математики, связанная с распределением простых чисел. Впервые эту проблему сформулировали в 1859 году.
- Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера — из теории чисел и алгебраической геометрии: для эллиптической кривой над рациональными числами порядок нуля ее L-функции в точке s = 1 равен рангу группы рациональных точек кривой.
- Уравнения Янга — Миллса и проблема массового разрыва — задача математической физики: доказать, что для любой компактной простой группы G квантовая теория Янга — Миллса существует в четырехмерном пространстве и обладает массовой щелью Δ > 0. Массовый разрыв — это разница в энергии между вакуумом и следующим по величине энергетическим состоянием. Энергия вакуума по определению равна нулю, а массовый разрыв равен массе самой легкой частицы, предсказанной теорией. Таким образом, победитель должен доказать: существование теории Янга — Миллса, удовлетворяющей строгим аксиомам математической физики, и положительность масс всех частиц силового поля.
- Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — нужно доказать (или опровергнуть), что уравнения гидродинамики в трехмерном евклидовом пространстве всегда имеют единственное гладкое решение с конечной энергией при любых «быстро затухающих» начальных условиях.
В чем суть уравнений Навье — Стокса
Джордж Габриель Стокс
Уравнения Навье — Стокса были выведены еще в XIX веке французским инженером Клодом-Луи Навье и ирландским физиком Джорджем Габриэлем Стоксом. Они используют второй закон Ньютона (F = ma) для описания движения жидкостей и газов — воды, воздуха, любой вязкой среды, при этом рассматривая жидкость как непрерывную среду, а не как совокупность отдельных молекул.
Второй закон Ньютона гласит: в инерциальной системе отсчета ускорение, которое получает тело, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе. При этом направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей силы.
Именно эта формула описывает волны, которые образуются вслед за лодкой на озере, турбулентные потоки воздуха, которые «трясут» самолет в полете, а также применяют их при проектировании летательных аппаратов, прогнозировании погоды и изучении кровотока.
Фундаментальный вопрос, связанный с этими уравнениями, заключается в том, могут ли уравнения Навье — Стокса для трехмерной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью привести к сингулярности.
Сингулярность — это точка, в которой математическая функция или физическая величина «ломается»: перестает быть определенной или устремляется к бесконечности. Простейший пример — функция 1/x. При x, стремящемся к нулю, значение функции стремится к бесконечности, а в самой точке x = 0 результат вообще не определен — на калькуляторе это выглядело бы как ошибка деления на ноль.
В физике сингулярность означает, что физическая величина — скорость, плотность, кривизна пространства-времени — формально принимает бесконечное значение, а известные законы природы теряют смысл и не могут описать, что происходит.
Применительно к уравнениям Навье — Стокса сингулярность означала бы, что скорость жидкости за конечное время становится бесконечно большой, хотя движение начиналось абсолютно плавно. Наглядный пример из гидродинамики — сток воды в раковине: в зависимости от вязкости жидкости и размера отверстия в центре стока скорость потока формально может устремляться к бесконечности, то есть возникает сингулярность.
Поскольку в реальном мире жидкость не может двигаться бесконечно быстро, возникновение такой сингулярности означало бы, что уравнения не подходят для построения моделей. Чтобы продолжить моделирование системы в таком случае, пришлось бы отслеживать поведение каждой частицы по отдельности, а не рассматривать жидкость как сплошную среду.
В 2020 году Роджер Пенроуз получил Нобелевскую премию по физике «за открытие того, что образование черных дыр является строгим следствием общей теории относительности». Ученый показал, что при гравитационном коллапсе массивной звезды в черную дыру «внутренности» этой дыры должны сжиматься до состояния сингулярности — точки с нулевыми размерами, где кривизна пространства-времени и плотность материи становятся бесконечными.
В 1934 году французский математик Жан Лере доказал, что решения уравнений существуют в обобщенном смысле, но вопрос о том, всегда ли они остаются гладкими, то есть без разрывов и бесконечных всплесков, так и остался без ответа. Именно это и составляет суть проблемы: формулы работают на практике, но строгого математического доказательства того, что они всегда дают корректное, физически осмысленное решение, до сих пор нет.
В 2000 году Математический институт Клэя включил проблему существования и гладкости решений уравнений Навье — Стокса в число семи нерешенных проблем тысячелетия. Институт формулирует задачу так: нужно доказать (или опровергнуть), что в трехмерном пространстве эти уравнения всегда имеют решение, которое существует «вечно» во времени и остается гладким при любых разумных начальных условиях течения.
Какое решение предложила OpenAI
Решение выглядит так: в жидкости образуется вихрь — вращающийся поток, который закручивается по спирали внутрь и вытягивается как спагетти. Центральная часть этого вихря сжимается, а скорость вращения бесконечно растет, но благодаря точному балансу между силами давления, вязкости и переноса импульса вся конструкция остается в рамках физических законов.
Чтобы найти это доказательство, OpenAI использовала не одну модель, а огромную команду из примерно 10 тыс. автономных агентов. Агенты были разбиты на группы, каждая из которых проверяла разные версии условий задачи — часть искала доказательство, часть искала опровержение — и обменивались сообщениями между собой. Интересно, что перед этим те же агенты неожиданно решили похожую, но более простую задачу — про уравнения Эйлера (частный случай Навье — Стокса), и это подтолкнуло команду сосредоточить все ресурсы именно на одной из проблем тысячелетия.
Работа заняла около 88 часов: агенты запустили расчеты 28 августа и пришли к результату в субботу, 5 сентября 2026 года, а затем еще 17 часов ушло на формальную проверку доказательства с помощью Lean — специального языка программирования, который математики используют, чтобы автоматически и строго проверить каждый шаг рассуждения. Всего в процессе решения всех задач агенты отправили друг другу 4,9 млн сообщений и использовали порядка 300 млрд токенов, из которых на саму задачу Навье — Стокса ушло 2,7 млн сообщений и около 130 млрд токенов.
Важно понимать, что на сегодняшний день это заявленное, но пока не подтвержденное независимыми математиками решение — им теперь предстоит перепроверить доказательство. По состоянию на 9 сентября 2026 года Институт Клэя все еще относит проблему Навье — Стокса к числу нерешенных задач.
Обвинения в краже решения
Еще до публикации решения от OpenAI этой же проблемой занимался профессор математики Нью-Йоркского университета Тристан Бакмастер. Во вторник, 8 сентября, он совместно с математиком из Anthropic Левентом Алпоге представил предварительные результаты по одному решению уравнения Навье — Стокса. В работе ученые использовали ИИ-модели Codex (OpenAI) и Claude (Anthropic).
OpenAI опубликовала полное доказательство проблемы Навье — Стокса спустя несколько часов после заявления Бакмастера. Математик утверждает, что OpenAI начала работу, опираясь на данные о его исследованиях, которые стали известны компании до публикации результатов. Он заявил, что OpenAI использовала подход, который почти никто, кроме Бакмастера и Алпоге, не применял. Однако компания задействовала огромные вычислительные мощности, чтобы первой оформить доказательство. Таким образом, как утверждает издание TechCrunch, есть риск, что модель OpenAI обучалась на данных из взаимодействий Бакмастера с Codex и потому могла воспроизвести его идеи.
Однако представители OpenAI настаивают, что ее сотрудники не видели работу Бакмастера до ее публикации, а доказательства существенно различаются. Тристан Бакмастер настаивает, что нужно максимально открыто публиковать всю информацию о подобных работах.
